16

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức:
m
m  0 , trong đó m0 là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng.
v2
1 2
c

Albert Einstein (1879 - 1955)
Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
HĐ 1. Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

4  x2
Cho hàm số f  x  
.
x 2
a) Tìm tập xác định của hàm số f  x  .

2n  1
b) Cho dãy số xn 
. Rút gọn f  xn  và tính giới hạn của dãy un  với un  f  xn  .
n
c) Với dãy số  xn  bất kì sao cho xn 2 và xn  2 , tính f  xn  và tìm lim n  f  xn  .
Lời giải:

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.
Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ \ {2}.
b) Ta có:

 2n  1 
4




2
4 x
 n 
f x  

2n  1
x 2
 2
n

2
2

2

1

4 2 
4
n



1

2


 2
n


4 1 
1
1

4



4




2 
n
n
n
n

 

  4  1
1
1
n
n
n

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
2

2

1
 2n  1 

4 
4 2 
4

4  x2
n
 n  

f x  


2
n

1
1
x 2

 2
2


 2
n
n

1

lim un  lim f ( xn )  lim   4    4
n  
n  
x  
n


4 1 
1
1

 4   22    4  
1
n n 
n
n


 4 
1
1
n
n
n

c) Với dãy số  xn  bất kì sao cho xn 2 và xn  2 , tính f xn  và tìm limn  f  xn  .
4  xn2 (2  xn )(2  xn )
lim f ( xn ) 

 2  xnn
n 
xn  2
 (2  xnn )
Vì xn ≠ 2 và xn ⟶ 2 với mọi n nên lim xn 2
n  

Do đó, lim f ( xn )  lim (  2  xn )  2  2  4
n  

n  

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Giả sử a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y  f  x  xác định trên khoảng a; b  , có thể trừ
điểm x0 . Ta nói hàm số f  x  có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số  xn  bất kì,

xn  a; b , xn  x0 và xn  x0 , ta có f  xn   L , kí hiệu lim x x0 f  x  L hay f  x   L khi x  x0 .
Ví dụ 1. Cho hàm số f  x  

x 1
1
lim
f
x

.
Chứng
tỏ
rằng
.


2
x 1
x 1
2

Lời giải
xn  1 1
Ta
có
f
x

 n 2  .
Lấy dãy số  xn  bất kì sao cho xn 1 và xn  1 .
1
1
1
 . Vậy lim f ( x)  .
x 1
n  x  1
2
2
n

Do đó lim f  xn   lim
n  

xn  1 xn 1

Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm như sau:
a) Nếu lim f ( x) L và lim g ( x) M thì lim[ f ( x)  g ( x)] L  M ; lim[ f ( x)  g ( x)] L  M ;
x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

f ( x) L
lim[ f ( x).g ( x)] L.M ; lim
 , nếu M 0 .
x  x0
x  x0 g ( x )
M
b) Nếu f ( x) 0 với mọi x  (a; b) \  x0  và lim f ( x) L thì L 0 và lim
x  x0

x  x0

f ( x)  L .

Ví dụ 2. Cho f ( x ) x  1 và g ( x) x3 . Tính các giới hạn sau:
[ f ( x)]2
b) lim
x  1 g ( x)

a) lim[3 f ( x)  g ( x)]
x 1

Lời giải
Ta có lim f ( x) lim( x  1) lim x  lim1 1  1 0 . Mặt khác, ta thấy lim g ( x) lim x 3 1 .
x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

a) Ta có: lim[3 f ( x)  g ( x)] lim[3 f ( x)]  lim g ( x) lim 3.lim f ( x)  lim g ( x) 3.0  1  1.
x 1

x 1

x 1

lim[ f ( x)]2

x 1

x 1

lim f ( x).lim f ( x) 0
[ f ( x)]
x 1
x 1
b) Ta có: lim

 x 1
 0.
x 1
g ( x)
lim g ( x)
lim g ( x)
1
2

x 1

x 1

x 1

x 9  3
Ví dụ 3. Tính lim
.
x 0
x

Lời giải

Ta có

x 1
Luyện tập 1. Tính lim
.
x 1 x  1
Lời giải
Ta có

x 1
( x  1)( x  1)
lim
lim
lim x  1  1 1 2
x 1
x 1
x  1 x 1
x1

Hoạt động 2. Nhận biết khái niệm giới hạn một bên
| x  1|
Cho hàm số f ( x) 
.
x 1
n
n 1
a) Cho xn 
và xn 
. Tính yn  f  xn  và yn  f  xn  .
n 1
n
b) Tìm giới hạn của các dãy số  yn  và  yn  .

c) Cho các dãy số  xn  và  xn  bất kì sao cho xn  1  xn và xn  1, xn  1 , tính lim f  xn  và

 

lim f xn .

n  

n  

Lời giải

a) Ta có: xn = 1 - 1/n < 1 với mọi n > 0 => xn - 1 < 0 với mọi n > 0.
xn  1  ( xn  1)

 1
Do đó: yn  f ( xn ) 
xn  1 xn  1
1
'
'
x
x

1


1
Ta cũng có:   n
với mọi n > 0 => n  1  0 với mọi n > 0.
n '
'
x

1
x
n
'
'
n  1
y

f
(
x
)


1
Do đó:
n
n
'
'
xn  1 xn  1

b) Tìm giới hạn của các dãy số  yn  và  yn  .

yn  lim ( 1)  1; lim yn'  lim 1 1
Ta có: nlim
 
n  
n  
n  
n  

n  

n  

n  

c) Ta có:
Vì xn < 1 < x'n, suy ra xn – 1 < 0 và x'n – 1 > 0 với mọi n.
Do đó, f(xn) = – 1 và f(x'n) = 1.
Vậy:

lim f ( xn )  1; lim f ( xn'n' ) 1

n  

nn
 


- Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng  x0 ; b . Ta nói số L là giới hạn bên phải của f ( x) khi x  x0
nếu với dãy số  xn  bất kì thoả mã̃ n x0  xn  b và xn  x0 , ta có f  xn   L , kí hiệu lim f ( x) L .
x  x0

- Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng a; x0  . Ta nói số L là giới hạn bên trái của f ( x) khi x  x0 nếu
với dãy số  xn  bất kì thoả mãn a  xn  x0 và xn  x0 , ta có f  xn   L , kí hiệu lim f ( x) L .
x  x0

 x 2 nÕu 0  x  1
Ví dụ 4. Cho hàm số f ( x ) 
 x  1 nÕu 1 x  2
Tính lim f ( x) và lim f ( x) .
x 1

x 1

Lời giải

Với dãy số  xn  bất kì sao cho 0  xn  1 và xn  1 , ta có f  xn  xn2 .
Do đó lim f ( x)  lim f  xn  1 .
n  

x 1

Tương tự, với dãy số  xn  bất kì mà 1  xn  2, xn  1 , ta có f  xn  xn  1 , cho nên

lim f ( x)  lim f  xn  2 .

x  1

n  

 x nÕu x  0
Luyện tập 2. Cho hàm số f ( x) 
Tính lim f ( x), lim f ( x) và lim f ( x) .
x 0
x 0
x 0
 x nÕu x 0

Lời giải
Với dãy số (xn) bất kì sao cho xn < 0 và xn ⟶ 0, ta có f(xn) = – xn.
Do đó:

lim f ( x )  lim f ( x n )  lim (  x n ) 0

x 0

n  

n  

Tương tự, với dãy số (xn) bất kì sao cho xn > 0 và xn ⟶ 0, ta có f(xn) = √x.
Do đó:

lim f ( x )  lim f ( x n )  lim x n 0

x 0

n  

lim f ( x ) lim f ( x ) 0

Khi đó:

x 0

Vậy:

lim f ( x ) 0
x 0

x 0

n  

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Hoạt động 3. Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực
2
Cho hàm số f ( x) 1 
có đồ thị như Hình 5.4.
x 1

Giả sử  xn  là dãy số sao cho xn  1, xn   . Tính f  xn  và tìm lim f  xn  .
n  

Lời giải
Với (xn) là dãy số sao cho xn > 1, xn ⟶ +∞.
2
2
0
Khi xn ⟶ +∞ thì lim
Ta có: f (n) 1 
x   x  1
xn  1
n
Do đó:


2 
lim f (n)  lim  1 
1

x  
x  
 xn  1 

- Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng (a; ) . Ta nói hàm số f ( x) có giới hạn là số L khi x  

nếu với dãy số  xn  bất kì, xn  a và xn   , ta có f  xn   L . kí hiệu lim f ( x) L hay f ( x)  L khi
x  

x   .
- Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng ( ; b) . Ta nói hàm số f ( x) có giới hạn là số L khi x    nếu

với dãy số  xn  bất kì, xn  b và xn    , ta có f  xn   L , kí hiệu lim f ( x) L hay f ( x)  L khi
x  

x   .
4
Ví dụ 5. Cho f ( x ) 2 
. Sử dụng định nghĩa, tìm lim f ( x) và lim f ( x) .
x  
x  
x 1
Lời giải

4
Lấy dãy  xn  bất kì sao cho xn  1 và xn   , ta có f  xn  2 
. Do đó lim f  xn  2 .
n  
xn  1
Vậy lim f ( x) 2 . Tương tự, ta cũng có lim f ( x) 2
x  

x  

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, ta có: lim c c, lim c c .
x  

x  

1
1
- Với k là một số nguyên dương, ta có: lim k 0, lim k 0 .
x   x
x   x
Ví dụ 6. Tính lim

x  

Ta có lim

x  

x2 1
.
x

 x 2 1 
x2 1
1

 lim  

lim
1


2
2
x



x




x
x 
x


x2  2
Luyện tập 3. Tính lim
.
x   x  1

Ta có:

Lời giải

x2  2
lim
 lim
x   x  1
x  

1
1

lim  1  2   1  lim 2  1 .
x  
x   x
 x 

Lời giải
2
x 1 2 
 x 
2

x 1

2
2
x 1 2
1 2
1
x
x
 lim
 lim
 1
x   
x


1
1
1
1

x 1 
x
 x

Vận dụng. Cho tam giác vuông OAB với A a ;0  và B 0;1 như Hình 5.5. Đường cao OH có độ
dài là h .
a) Tính h theo a .
b) Khi điểm A dịch chuyển về O , điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox , điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Lời giải
a) Ta có: A = (a; 0) ⇒ OA = a; B = (0; 1) ⇒ OB = 1
Tam giác OAB vuông tại O có đường cao OH nên
ta có
1
1
1
 22  22
2
OH OA OB
Do đó,

1 1 1
a2
a



h


h 2 a 2 12
a 2 1
a 2 1

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, ta có OA = a = 0, suy ra h = 0, do đó
điểm H dịch chuyển về điểm O.
c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, ta có OA = a ⟶ +∞.
Ta có: 
a2
lim h  lim 2  lim
a  
a   a  1 a  

a2
 1
a 1 2 
 a 
2

 lim

a  

Do đó, điểm H dịch chuyển về điểm B.

1
1

1
a2

1

3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
a) Giới hạn vô cực

1
1
HĐ4. Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực. Xét hàm số f  x   2 có đồ thị như Hình 5.6. Cho xn  ,
x
n
chứng tỏ rằng f  xn    .
Lời giải:

1
Ta có: xn 
n

do đó

1
1
f ( xn )  2  2 n2
xn  1 
 
 n

Vì n ⟶ +∞ nên  x n →0 và f(xn) ⟶ +∞.

1
Ví dụ 7. Tính lim
.
x 1 x  1

Lời giải:

1
Xét hàm số f  x  
. Lấy dãy số  xn  bất kì sao cho xn 1 , xn  1 . Khi đó, xn  1  0 .
x 1

1
1
  . Vậy lim
 .
Do đó f  xn  
x 1 x  1
xn  1
1
1
1
HĐ5. Cho hàm số f  x  
. Với các dãy số  xn  và  xn  cho bởi xn 1  , xn 1  , tính
x 1
n
n
lim f  xn  và lim f  xn  .

n  

Ta có:

n  

Lời giải:

1
1
1
 lim
 lim  lim n 
nn
n  
n  
n   x  1 n   
  1
1
n
1   1
n
 n
1
1
1
lim f ( xn' )  lim '  lim
 lim
 lim (  n)  
n  
n   x  1 n   
n  1
n  
1
n

1   1
n
 n

lim f ( xn )  lim
n  
n  

Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  x0 ; b  . Ta nói hàm số f ( x) có giới hạn  khi

x  x0 về bên phải nếu với dãy số  xn  bất kì thoả mãn x0  xn  b , xn  x0 , ta có f  xn   
, kí hiệu lim f  x   .
x  x0

Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng a; x0  . Ta nói hàm số f ( x) có giới hạn  khi

x  x0 về bên trái nếu với dãy số  xn  bất kì thoả mãn a  xn  x0 , xn  x0 , ta có f  xn   
, kí hiệu lim f ( x)  .
x  x0

Các giới hạn một bên lim f  x    và lim f  x    được định nghĩa tương tự.
x  x0

x  x0

Ví dụ 8. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Từ công thức khối lượng

m 

Lời giải:
m00
v 22
1
c 22

ta thấy m là một hàm số của v , với tập xác định là nửa khoảng  0;c  . Rõ ràng khi v tiến gần
v2
tới vận tốc ánh sáng, tức là v  c , ta có 1  2  0 . Do đó lim m v   , nghĩa là khối
v c
c
lượng m của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng.


uyện tập 4. Tính các giới hạn sau:

2
a) lim ;
x 0 x

b) lim
Lời giải:

x 2

1
.
2 x

2
. Lấy dãy số xn bất kì sao cho xn 0, xn  0.
x
2
lim 
  Vậy
x 0 x

a) Xét hàm số  f ( x) 

2
Do đó,
x
1
g
(
x
)

b) Đặt 
. Với mọi dãy số xn trong khoảng (– ∞; 2) mà lim xn 2
x  
2 x
1
ta có lim g ( x)  lim

n  
n  
2 x
1
Vậy lim g ( x )  lim

x 2
x 2
2 x
f ( x) 

Chú ý. Các giới hạn lim f  x  , lim f  x   , lim f  x    và lim f  x    được
x  

x  

x  

x  

định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f  x  tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số f  x 
xác định trên khoảng a;  , có giới hạn là   khi xn   nếu với mọi dãy số  xn  bất kì,

xn  a và xn   , ta có f  xn     , kí hiệu lim f  x    hay f  x     khi x  
x  

.

Một số giới hạn đặc biệt:

lim x k  Với k nguyên dương;

x  

lim x k  với k là số chẵn;

x  

lim x k   với k là số lẻ.

x  

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
Quy tắc tìm giới hạn của một
tích:

b) Quy tắc tìm giới hạn của một
thương:

Dấu của
Tùy ý

0

0

Các quy tắc trên vẫn đúng trong các trường hợp

Ví dụ 9. Tính lim
x 0

x 1
.
2
x

Lời giải:

Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương. Rõ ràng, giới hạn của tử số lim  x  1 1 .
x 0

x 1
 .
2
x 0 x

Ngoài ra, mẫu số nhận giá trị dương với mọi x 0 và lim x 2 0 . Do vậy lim
Ví dụ 10. Tính lim
x 1

1
1
và lim
.
x

1
x 1  x 
x 1  x 

x 0

Lời giải:

1
1 1
1
1
 
  do 1  x  0 khi x  1 .
Viết
, ta có lim 1  0 . Hơn nữa lim
x 1 x
x 1 1  x
x 1  x  x 1  x
1
  .
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được lim
x  1 x 1  x 

1
 .
Lí luận tương tự, ta có lim
x  1 x 1  x 

Luyện tập 5. Tính lim
x 2

2x  1
2x  1
và lim
.
x 2 x  2
x 2
Lời giải:

a)Ta có: lim (2 
x 2

x) 0, x  2  0  x  2

lim (2 x  1) 3  0

x 2

Do đó:  
b)Ta có: 

lim

x 2

2x  1

x 2

lim ( x  2) 0, x  2  0  x  2

x 2

lim (2 x  1) 3  0
2x  1
 
Do đó:   lim
x 2
x 2
x  2

Bài tập

x2  1
5.7. Cho hai hàm số f ( x) 
và g ( x) x 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x 1
a) f ( x) g ( x) ;
b) lim f ( x) lim g ( x) .
x 1

x 1

Lời giải:
a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.
x 2  1 ( x  1)( x  1)

 x  1 với mọi x ≠1
Ta có: f ( x) 
x 1
x 1
Biểu thức g(x) = x + 1 có nghĩa với mọi x.

Do đó, điều kiện xác định của hai hàm số f(x) và g(x) khác nhau, vậy khẳng định a) là
sai.
x2  1
( x  1)( x  1)
lim
f
(
x
)

lim

lim
lim( x 1) 1 1 2
b) Ta có: x 1
x 1 x  1
x 1
x 1
x 1
lim g ( x) lim( x 1) 1 1 2 Vậy: lim f ( x) lim g ( x) nên câu b) đúng.
x 1
x 1
x 1
x 1

5.8. Tính các giới hạn sau:

x2  9  3
b) lim
.
2
x 0
x

( x  2) 2  4
a) lim
x 0
x

Lời giải:
  x  2   2   x  2   2
( x  2) 2  4
x( x  4)
a) Ta có: lim
lim
lim
lim( x  4) 0  4 4
x 0
x

0
x

0
xx
x

0
00
x
x
x

b) Ta có:

x2  9  3
( x 2  9  3)( x 2  9  3)
x2  9  9
lim
lim
lim
2
2
x 0
x

0
x 0
x
x ( x  9  3)
x 2 ( x 2  9  3)
x2

1

1
1
lim
lim


2
2
x 0 2
x 0
x ( x  9  3)
x 9 3 0 9 3 6

5.10. Tính các giới hạn một bên:

x2  x 1
b) lim
x 4
4 x

x 2
a) lim
;
x 1 x  1
a) Ta có: lim ( x  1) 0, x  1  0 x  1
x 1

lim ( x  2) 1  2  1  0

x 1

Do đó: xlim
 1
x 1

x 2
 
x 1

b) Ta có: xlim4 (4  x) 0, 4  x  0 x  4
lim ( x 2  x  1) 16  4  1 13  0

x 4

x2  x 1

Do đó: lim
x 4
4 x

2

x  5x  6
5.11. Cho hàm số g ( x ) 
. Tìm lim g ( x) và lim g ( x) .
x 2
x 2
| x 2|


a) Ta có:

Do đó:

lim g ( x)  lim ( x  3) 2  3  1

x 2

x 2

lim g ( x)  lim (3  x) 3  2 1

x 2

x 2



5.12. Tính các giới hạn sau:
a) lim

1 2x

x  

b) lim

2

x 1

x  

 x  x  2  x .
2

1

1
x  2
 2
1 2x
2
x


x
 lim
 lim

 2
a) Ta có: xlim
 
x  
1
1
x 2  1 x   x 1  1
1 2
2
x
x
b) Ta có:


lim  x  x  2  x   lim
2

x  

 lim

x  

2

x x2  x

x x2 x

2

x2  x  2  x

 lim

x  

x x2 x

x2  x  2  x

x  

2



2

x2
x2  x  2  x




lim  x  x  2  x   lim
2

x  

 lim

x  

x2  x  2  x

x2  x  2  x

x  

x2  x  2  x2
2

 lim

x  



x2  x  2  x

x2
2

x x2 x
x x2 x
 2
2
x 1 
1
1
x

x
 lim
 lim

x   
2
 x 
1 2
1 2
1   2 1
x  1   2  1
x x
x x





2
5.13. Cho hàm số f ( x ) 
. Tìm lim f ( x) và lim f ( x) .
x 2
x 2
( x  1)( x  2)




f ( x)
a)Tinh xlim

2
Ta có:

2
2
1
2
1
lim f ( x)  lim
 lim
.
 lim
. lim

x  2
x  2 ( x  1)( x  2)
x 2 x  1 x  2
x 2 x  1 x  2 x  2
2
2
1

2  0; lim
 do x  2  0, x  2
Vì: xlim

2 x  1
x 2 x  2
2 1
b) Tính
Ta có:

lim f ( x)

x 2

2
2
1
2
1
lim f ( x)  lim
 lim
.
 lim
. lim
 
x 2
x  2 ( x  1)( x  2)
x 2 x  1 x  2
x 2 x  1 x 2 x  2
2
2
1
lim


2

0;
lim
  do x  2  0, x  2
Vì: x 2 x  1 2  1

x 2 x  2