Chuyên đề
Điểm cực trị của hàm số




Biên soạn: Vũ Văn Đoàn
trung tâm BDVH hè việt anh

Nội dung
Tóm tắt lý thuyết
Một số chú ý
Ví dụ minh hoạ
Bài tập tự giải


Tóm tắt lý thuyết
Cho hàm số y = f(x); Tìm điểm cực trị của hàm số.
Cách 1:
Tìm f’(x)
Tìm các điểm tới hạn.
Xét dấu f’(x) suy ra các điểm cực trị.
Cách 2:
Tìm f’(x); f’’(x)
Tìm các điểm tới hạn, giả sử là x0.

là điểm cực tiểu.

là điểm cực đại.
Điểm cực trị của hàm số
Một số chú ý: Đối với cách 1
Nếu tại x0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì x0 là điểm cực đại.
Nếu tại x0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ âm qua dương thì x0 là điểm cực tiểu.
Đạo hàm y’ không đổi dấu qua nghiệm kép
Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x0) là giá trị cực trị,
M(x0; f(x0)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Điểm cực trị của hàm số
Ví dụ minh họa - Ví dụ 1
Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 – (m - 1)x - 1 có cực trị.
Lời giải
y’ = 3mx2 + 6mx – (m – 1) = 0
m = 0  1 = 0 (Vô lý)  Hàm số không có cực trị.
m  0. Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt


Kết luận: Vậy thì hàm số có cực trị.
Chú ý: Một số học sinh thường mắc sai lầm chỉ có điều kiện ’  0 vì:
Hệ số a = 3m chứa tham số nên cần phải xét a = 0 hoặc a  0.
Nếu a  0, khi tính ’ 0 là sai vì  = 0 thì y’ = 0 có nghiệm kép mà qua nghiệm kép thì y’ không đổi dấu nên chỉ có điều kiện: ’ > 0.
Điểm cực trị của hàm số
Ví dụ minh họa (tt) - Ví dụ 2
Cho hàm số Giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Lời giải

Hàm số đạt cực đại tại





Vậy m = 2 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Điểm cực trị của hàm số
Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 3
Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 chỉ có một cực trị.
Lời giải



Để hàm số chỉ có 1 cực trị  (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0.
(2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  ’  0


Điểm cực trị của hàm số
Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 3

(2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0.



Vậy với thì hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Điểm cực trị của hàm số
Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 4
Cho hàm số . Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 4x1.x2
Lời giải



Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại
Điểm cực trị của hàm số
Ví dụ minh họa – Ví dụ 4 (tt)







Vậy thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 thỏa mãn
x1 + x2 = 4x1.x2
Điểm cực trị của hàm số
Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 5
Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía đối với Oy
Lời giải
để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía đối với Oy.
f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn
Điểm cực trị của hàm số
Bài tập tự giải
Bài 1: Tìm các điểm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:






Bài 2: (ĐH Huế Khối A - 98) Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + (m - 1)x +2 đạt cực tiểu tại x = 2.
Điểm cực trị của hàm số
Bài tập tự giải (tt)
Bài 3: Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1
Bài 4: Cho hàm số xác định m để
a) Hàm số không có cực trị
b) Hàm số có cực trị
c) Hàm số có 2 điểm cực trị có hoành độ dương
d) Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của oy
e) Hàm số có 2 điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn
f) Hàm số có điểm cực tiểu thuộc khoảng (0; m) với m > 0
Điểm cực trị của hàm số